| APRESENTAÇÃO |
Visualizar é uma das habilidades mais importantes para o desenvolvimento do aluno com relação aos conceitos da geometria espacial. Contudo, um professor típico dispõe (e usa) apenas o livro texto como ferramenta didática para o ensino deste assunto. Sendo mídias bidimensionais, a página de um livro ou o quadro-negro não são os instrumentos mais adequados para se treinar visualização. O emprego de materiais concretos se põe como uma excelente alternativa para explorar o assunto. Outra abordagem promissora é o uso de recursos computacionais: modelos tridimensionais podem ser manuseados virtualmente na tela de um computador, construindo assim uma ponte entre a representação planar (quando o sólido está estático na tela do computador) e o modelo concreto (quando o usuário interage com o sólido). Neste contexto, o objetivo desta atividade é criar uma pequena enciclopédia virtual interativa sobre os sólidos platônicos, apresentando suas propriedades matemáticas, os aspectos históricos, suas aplicações e modelos virtuais interativos. |
| DEFINIÇÕES |
A palavra poliedro tem sido usada em diferentes épocas por diferentes pessoas com os mais variados significados (muitas vezes, incompatíveis entre si). Não é raro que uma mesma pessoa use o mesmo termo com interpretações diferentes em momentos diferentes. Sem uma definição precisa, interpretações equivocadas (como, por exemplo, sobre a validade do Teorema de Euler) podem aparecer. Não nos deteremos nas nuances do significado da palavra. Para nossas necessidades, usaremos a seguinte definição de poliedro convexo:
Aqui nos restringiremos à classe de poliedros regulares:
Observe que o item (b) desta definição não segue de (a): as faces da bipirâmide pentagonal J13 (Figura 1), por exemplo, são triângulos equiláteros congruentes, mas o número de faces concorrentes em cada vértice não é sempre o mesmo. Figura 1: A bipirâmide pentagonal J13 (clique e arraste a figura). |
| SÓ EXISTEM CINCO SÓLIDOS PLATÔNICOS |
Uma pergunta natural é se existe algum poliedro que satisfaz a Definição 2. Euclides inicia o Livro XIII de Os Elementos mostrando que existem pelo menos cinco deles: o tetraedro regular (Figura 2), o cubo ouhexaedro regular (Figura 3), o octaedro regular (Figura 4), o dodecaedro regular (Figura 5) e o icosaedro regular (Figura 6). O sufixo edro vem da palavra grega hédra que significa face. Os prefixos, também oriundos do grego, indicam a quantidade de faces de cada poliedro: tetra (4), hexa (6), octa (8), dodeca (12) e icosa (20). A palavracubo vem do latim cubu (estar deitado, estar estirado; repousar; estar deitado à mesa) e do grego kýbos. Figura 2: O tetraedro regular (clique e arraste a figura). Figura 3: O cubo (clique e arraste a figura). Figura 4: O octaedro regular. Figura 5: O dodecaedro regular (clique e arraste a figura). Figura 6: O icosaedro regular (clique e arraste a figura). Existem outros sólidos platônicos além destes cinco? A resposta é não! Apresentaremos aqui duas justificativas para este fato. A primeira, mais geométrica, segue a demonstração dada originalmente por Euclides. A segunda faz uso da fórmula de Euler. Demonstração geométrica Usaremos a seguinte propriedade fundamental: a soma dos ângulos dos polígonos em volta de cada vértice de um poliedro é sempre menor do que 360°. Esta é a proposição 21 do Livro XI do Os Elementos de Euclides. Apesar de intuitiva, a demonstração apresentada por Euclides é elaborada, sendo decorrente de uma sequência de resultados auxiliares [Joyce, 2008]. Vamos agora analisar as diversas possibilidades de união de faces em torno de cada vértice, lembrando que (1) em um sólido platônico as faces são polígonos regulares congruentes e (2) são necessárias pelo menos três faces unidas em cada vértice para formar um sólido. 1. As faces são triângulos equiláteros com ângulos internos de 60°. Temos as seguintes possibilidades:
2. As faces são quadrados com ângulos internos de 90°. Temos as seguintes possibilidades:
3. As faces são pentágonos regulares com ângulos internos de 108°. Temos as seguintes possibilidades:
4. Se as faces são polígonos regulares com n ≥ 6 lados, então a soma dos ângulos dos polígonos em torno de cada vértice é ≥ 360°. Sendo assim, não existe nenhum sólido platônico com faces hexagonais, heptagonais, etc. Demonstração topológica Daremos uma outra demonstração para o fato de que só existem cinco sólidos platônicos, usando agora a fórmula de Euler: se V é o número de vértices, A é o número de arestas e F é o número de faces de um poliedro convexo, então
Uma demonstração deste belíssimo resultado pode ser encontrada em [Lima, 1991]. A referência [Eppstein, 2008] apresenta 19 demonstrações diferentes para a fórmula de Euler (incluindo uma prova usando cargas elétricas). Considere então um sólido platônico cujas faces são polígonos regulares de n lados. Como cada aresta do poliedro é definida pela interseção dos lados de dois polígonos adjacentes, segue-se que se contarmos todos os lados de todos os polígonos, iremos contar duas vezes cada aresta do poliedro. Desta maneira:
Denote por p o número de arestas do poliedro que concorrem em um mesmo vértice. Cada uma destas arestas, a exemplo das faces, se conecta a dois vértices. Assim, se contarmos o número de arestas em cada face, estaremos contando duas vezes o número de arestas do poliedro. Portanto:
Substituindo-se os valores de V e F das Equações (1.2) e (1.3) na Equação (1.1), teremos que 2 • A/p − A + 2 • A/n = 2 ou, ainda, 1/p − 1/A + 1/n = 1/2. Consequentemente,
Como o número A de arestas deve ser positivo, temos que 2 • n + 2 • p − n • p > 0, ou seja,
Uma vez que p ≥ 3, concluímos que, obrigatoriamente, n < 6. As possibilidades são então as seguintes:
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Assistam ao vídeo: Sólidos Platônicos
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